Μαθήματα

Αριθμητική Ανάλυση

Γενικά

Περιεχόμενα μαθήματος

Σύντομη περιγραφή μαθήματος:

Στα πλαίσια του μαθήματος παρουσιάζονται κάποιες βασικές μέθοδοι Αριθμητικής Ανάλυσης και
γίνεται εφαρμογή τους σε Η/Υ με το πρόγραμμα Matlab. Παρουσιάζονται θέματα όπως επίλυση μη
γραμμικών εξισώσεων και γραμμικών – μη γραμμικών συστημάτων, παρεμβολή, αριθμητική
παραγώγιση, αριθμητικός υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων, επίλυση διαφορικών εξισώσεων
και επίλυση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Τέλος, μελετάται η εφαρμογή των μεθόδων αυτών
σε προβλήματα Πολιτικού Μηχανικού.

Στο εργαστηριακό μέρος του μαθήματος γίνεται εφαρμογή των μεθόδων, που παρουσιάστηκαν στις
διαλέξεις της θεωρίας, σε Η/Υ χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Matlab (Octave)

– Περιεχόμενο διαλέξεων θεωρίας

  • Οι έννοιες του απόλυτου και του σχετικού σφάλματος. Αριθμητική Σημαντικών ψηφίων. Η
    ακρίβεια των πράξεων σε Η/Υ. Σφάλματα αποκοπής και στρογγυλοποίησης.
  • Υπολογισμός των πραγματικών ριζών συναρτήσεων. Περιγραφή του προβλήματος. Μέθοδοι
    Διχοτόμησης, Εσφαλμένου σημείου (regulae falsi) και Newton – Raphson.
  • Χρήση των αναπτυγμάτων Taylor – Mac Laurin στον υπολογισμό τιμών μιας συνάρτησης και στη λύση ολοκληρωμάτων. Οι φοιτητές αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της αντικατάστασης μιας μη πολυωνυμικής συνάρτησης με μια πολυωνυμική (με ένα ανάπτυγμα), λύνοντας ολοκληρώματα που δεν λύνονται αναλυτικά.
  • Επίλυση γραμμικών και μη γραμμικών συστημάτων. Παρουσιάζεται η λύση ενός Συστήματος
    Γραμμικών εξισώσεων με τις μεθόδους Cramer και Gauss-Cholevsky. Επίλυση συστήματος μη
    γραμμικών Εξισώσεων με τη μέθοδο του Newton
  • Δημιουργία Πινάκων Πεπερασμένων Διαφορών και το Συμπτωτικό πολυώνυμο. Βασικές έννοιες και ιδιότητες των πολυωνυμικών συναρτήσεων. Η έννοια του συμπτωτικού πολυωνύμου.
  • Πίνακες Πεπερασμένων Διαφορών, το Συμπτωτικό πολυώνυμο του Νewton και το πρόβλημα της Παρεμβολής. Γραμμική και πλήρης παρεμβολή, Διπλή γραμμική παρεμβολή.
  • Αριθμητική παραγώγιση. Η έννοια της, απλοί τύποι και παραγώγιση του συμπτωτικού
    πολυωνύμου.
  • Αριθμητική ολοκλήρωση. Κατανόηση του προβλήματος. Μέθοδος του τραπεζίου. Οι τύποι του
    Cotes που αναφέρονται στη χρήση συμπτωτικού πολυωνύμου 1ου, 2ου, 3ου, 4ου και 6ου βαθμού
  • Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης, της μορφής y’=f(x,y). Μέθοδος του Euler,
    του Taylor και των Runge-Kutta o Αριθμητική επίλυση Συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Εφαρμογή με την μέθοδος του Taylor και την μέθοδο των Runge-Kutta.
  • Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης.
  • Εφαρμογή της Αριθμητικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων σε θέματα της Επιστήμης του
    Πολιτικού Μηχανικού (ταλαντώσεις).

– Περιεχόμενο εργαστηριακών ασκήσεων

  • Υπολογισμός των πραγματικών ριζών συναρτήσεων. Περιγραφή του προβλήματος. Μέθοδοι
    Διχοτόμησης και Newton – Raphson.
  • Επίλυση γραμμικών και μη γραμμικών συστημάτων. Παρουσιάζεται η λύση ενός Συστήματος
    Γραμμικών εξισώσεων με τις μεθόδους Cramer και Gauss-Cholevsky. Επίλυση συστήματος μη
    γραμμικών Εξισώσεων με τη μέθοδο του Newton
  • Αριθμητική ολοκλήρωση. Κατανόηση του προβλήματος. Μέθοδος του τραπεζίου. Οι τύποι του
    Cotes που αναφέρονται στη χρήση συμπτωτικού πολυωνύμου 1ου, 2ου, 3ου, 4ου και 6ου βαθμού
  • Αριθμητική επίλυση Συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Εφαρμογή με την μέθοδος του Taylor
    και την μέθοδο των Runge-Kutta.
  • Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης.
  • Εφαρμογή της Αριθμητικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων σε θέματα της Επιστήμης του
    Πολιτικού Μηχανικού (ταλαντώσεις).

Μαθησιακοί Στόχοι

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα είναι σε θέση να:

  • γνωρίζουν βασικές μεθόδους της αριθμητικής ανάλυσης και χρήσιμους αλγορίθμους τον πολιτικό μηχανικό.
  • συνειδητοποιούν τη σημασία της χρήσης αλγορίθμων και να είναι σε θέση να ελέγχουν την αξιοπιστία των αποτελεσμάτων τους.
  • κατανοούν τη χρησιμότητα των αριθμητικών μεθόδων ως βασικά κομμάτια προγραμμάτων σχεδιασμού και επιστημονικών υπολογισμών.
  • εφαρμόζουν αριθμητικές μεθόδους για τον υπολογισμό λύσεων μεγάλων γραμμικών συστημάτων, εντοπισμό ριζών μη γραμμικών εξισώσεων, εμβαδών πολύπλοκων χωρίων και λύση απλών διαφορικών εξισώσεων.

Γενικές Ικανότητες

  • Αυτόνομη εργασία
  • Ομαδική εργασία
  • Λήψη αποφάσεων
  • Άσκηση κριτικής και αυτοκριτικής
  • Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης

Μέθοδοι Διδασκαλίας

Στην τάξη (Πρόσωπο με πρόσωπο)

Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών

Το εργαστηριακό μέρος του μαθήματος διεξάγεται σε αίθουσα με Η/Υ με ατομικές θέσεις εργασίας για κάθε φοιτητή. Χρήση του πακέτου Octave (Matlab clone) με άδεια ανοικτού λογισμικού GNU.

Υποστήριξη Μαθησιακής διαδικασίας μέσω ηλεκτρονικής ιστοσελίδας, μέσω της ηλεκτρονικής πλατφόρμας e-learning και ηλεκτρονικής επικοινωνίας με τους φοιτητές (online ανακοινώσεις
και σχόλια, email κτλ).

Οργάνωση Διδασκαλίας

ΔραστηριότηταΦόρτος εργασίας εξαμήνου
Διαλέξεις Θεωρίας26
Ασκήσεις πράξης13
Εργαστηριακές ασκήσεις13
Εκπόνηση Εργασίας16
Αυτοτελής Μελέτη62
TOTAL130
Σύνολο260

Αξιολόγηση Φοιτητών

Γλώσσα Αξιολόγησης: Ελληνική

  • Γραπτή τελική εξέταση (70% του τελικού βαθμού) που
    περιλαμβάνει:

    • Θεωρητικές ερωτήσεις κρίσης
    • Επίλυση προβλημάτων-ασκήσεων
  • Ατομική εργασία και/ή εξέταση εργαστηρίου (30% του τελικού
    βαθμού)

Απαραίτητη προϋπόθεση για την επιτυχή παρακολούθηση του μαθήματος είναι η βαθμολόγηση με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 5 σε κάθε ένα από τα δύο μέρη αξιολόγησης. Σε αντίθετη περίπτωση ο
φοιτητής επαναλαμβάνει το μάθημα χωρίς να κατοχυρώνεται βαθμός σε κάποιο από τα δύο μέρη.

Το παρόν κείμενο περιγραφής του μαθήματος με τα κριτήρια αξιολόγησης είναι προσβάσιμο στους φοιτητές στον οδηγό σπουδών του Τμήματος (ιστοσελίδα Τμήματος) και στην ιστοσελίδα του μαθήματος. Επίσης κοινοποιούνται προφορικά στους φοιτητές κατά την πρώτη διάλεξη.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

  • Παπαϊωάννου Σ., Βοζίκης Χ. ‘Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση’, Εκδόσεις Ελληνικά
    Ακαδημαϊκά Ηλεκτρονικά Συγγράμματα και Βοηθήματα – Αποθετήριο “Κάλλιπος”, 2016,
    ISBN:978-960-603-379-7
  • Σαρρής Ι., Καρακασίδης Θ., Αριθμητικές Μέθοδοι και Εφαρμογές για Μηχανικούς, Εκδόσεις
    Τζιόλα, 2015, ISBN: 978-969-418-520-7
  • Chapra S., Canale R., Αριθμητικές Μέθοδοι για Μηχανικούς, Εκδόσεις Τζιόλα, 2016, ISBN:
    978-960-418-542-9